Hình 1. Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c với mỗi hệ số biến đổi trong khi các hệ số khác giữ nguyên tại giá trị a = 1, b = 0, c = 0. Ví dụ, đồ thị bên phải là của hàm số y = ax2 (b = c = 0 không đổi) ứng với các giá trị a thay đổi là −4/3, −1/2, 0, 1/3, và 3/2 (màu sắc tương ứng); tương tự đồ thị ở giữa là của hàm số y = x2 + bx và đồ thị bên trái là của hàm số y = x2 + c.

Một phương trình bậc hai với các hệ số thực hoặc phức có hai đáp số, gọi là các nghiệm. Hai nghiệm này có thế phân biệt hoặc không, và có thể là thực hoặc không.

Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có thể viết được thành (px + q)(rx + s) = 0. Trong một vài trường hợp, điều này có thể thực hiện bằng một bước xem xét đơn giản để xác định các giá trị p, q, r, và s sao cho phù hợp với phương trình đầu. Sau khi đã viết được thành dạng này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nếu px + q = 0 hoặc rx + s = 0. Giải hai phương trình bậc nhất này ta sẽ tìm ra được nghiệm.

Với hầu hết học sinh, phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra là phương pháp giải phương trình bậc hai đầu tiên mà họ được tiếp cận.[2]:202–207 Nếu phương trình bậc hai ở dạng x2 + bx + c = 0 (a = 1) thì có thể tìm cách phân tích vế trái thành (x + q)(x + s), trong đó q và s có tổng là -b và tích là c (đây đôi khi được gọi là "quy tắc Viet"[3]) Ví dụ, x2 + 5x + 6 viết thành (x + 3)(x + 2). Trường hợp tổng quát hơn khi a ≠ 1 đòi hỏi nỗ lực lớn hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra; giả định rằng hoàn toàn có thể làm được như vậy.

Trừ những trường hợp đặc biệt như khi b = 0 hay c = 0, phân tích bằng kiểm tra chỉ thực hiện được đối với những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này có nghĩa là đa phần các phương trình bậc hai phát sinh trong ứng dụng thực tiễn không thể giải được bằng phương pháp này.[2]:207

Phần bù bình phương

Hình 2. Đồ thị hàm số bậc hai y = x2 − x − 2. Các hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành x = −1 và x = 2 là nghiệm của phương trình bậc hai x2 − x − 2 = 0.

Trong quá trình hoàn thành bình phương ta sử dụng hằng đẳng thức:

x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}

một thuật toán rạch ròi có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.[2]:207 Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát ax2 + bx + c = 0

1. Chia hai vế cho a, hệ số của ẩn bình phương.
2. Trừ c/a mỗi vế.
3. Thêm bình phương của một nửa b/a, hệ số của x, vào hai vế, vế trái sẽ trở thành bình phương đầy đủ.
4. Viết vế trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế phải nếu cần thiết.
5. Khai căn hai vế thu được hai phương trình bậc nhất.
6. Giải hai phương trình bậc nhất.

Tiếp theo là ví dụ minh họa việc sử dụng thuật toán này. Giải phương trình 2x2 + 4x − 4 = 0

⇔   x 2 + 2 x − 2 = 0 {\displaystyle \Leftrightarrow \ x^{2}+2x-2=0} ⇔ x 2 + 2 x = 2 {\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+2x=2} ⇔   x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow \ x^{2}+2x+1=2+1} ⇔ ( x + 1 ) 2 = 3 {\displaystyle \Leftrightarrow \left(x+1\right)^{2}=3} ⇔   x + 1 = ± 3 {\displaystyle \Leftrightarrow \ x+1=\pm {\sqrt {3}}} ⇔   x = − 1 ± 3 {\displaystyle \Leftrightarrow \ x=-1\pm {\sqrt {3}}}

Dấu cộng-trừ "±" biểu thị rằng cả x = −1 + √3 và x = −1 − √3 đều là nghiệm của phương trình.[4]

Công thức nghiệm

Có thể áp dụng phương pháp phần bù bình phương để rút ra một công thức tổng quát cho việc giải phương trình bậc hai, được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai.[5] Giờ là phần chứng minh tóm tắt.[6] Bằng khai triển đa thức, dễ thấy phương trình dưới đây tương đương với phương trình đầu:

( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 . {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}

Lấy căn bậc hai của hai vế rồi chuyển x về một bên, ta được:

x = − b ± b 2 − 4 a c   2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}

Một số nguồn tài liệu, đặc biệt là tài liệu cũ, sử dụng tham số hóa phương trình bậc hai thay thế như ax2 + 2bx + c = 0 hoặc ax2 − 2bx + c = 0 ,[7] ở đây b có độ lớn bằng một nửa và có thể mang dấu ngược lại. Các dạng nghiệm là hơi khác, còn lại thì tương đương.

Còn một số cách rút ra công thức nghiệm có thể tìm thấy trong tài liệu. Các cách chứng minh này là đơn giản hơn phương pháp phần bù bình phương tiêu chuẩn.

Một công thức ít phổ biến hơn, như dùng trong phương pháp Muller và có thể tìm được từ công thức Viet:

x = − 2 c b ± b 2 − 4 a c . {\displaystyle x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}

Một tính chất của công thức này là khi a = 0 nó sẽ cho ra một nghiệm hợp lệ, trong khi nghiệm còn lại có chứa phép chia cho 0, bởi khi a = 0 thì phương trình bậc hai sẽ chuyển về bậc nhất có một nghiệm. Ngược lại, công thức phổ biến chứa phép chia cho 0 ở cả hai trường hợp.

Phương trình bậc hai rút gọn

Việc rút gọn phương trình bậc hai để cho hệ số lớn nhất bằng một đôi khi là tiện lợi. Cách làm là chia cả hai vế cho a, điều này luôn thực hiện được bởi a khác 0, ta được phương trình bậc hai rút gọn:[8]

x 2 + p x + q = 0 , {\displaystyle x^{2}+px+q=0,}

trong đó p = b/a và q = c/a. Công thức nghiệm của phương trình này là:

x = 1 2 ( − p ± p 2 − 4 q ) . {\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right).}

Biệt thức

Hình 3. Ảnh hưởng của dấu của biệt thức đến số nghiệm [thực] của phương trình bậc hai. Khi Δ > 0, đường parabol cắt trục hoành tại hai điểm; Δ = 0, đỉnh của parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất; Δ < 0, parabol không giao trục hoành tại bất kỳ điểm nào. (đường parabol là đồ thị của hàm số bậc hai)

Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức dưới dấu căn được gọi là biệt thức và thường được biểu diễn bằng chữ D hoa hoặc chữ delta hoa (Δ) trong bảng chữ cái Hy Lạp:[9]

Δ = b 2 − 4 a c . {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.} Ngoài ra, với b = 2b' thì ta có biệt thức thu gọn: Δ ′ = b ′ 2 − a c . {\displaystyle \Delta '=b'^{2}-ac.}

Phương trình bậc hai với các hệ số thực có thể có một hoặc hai nghiệm thực phân biệt, hoặc hai nghiệm phức phân biệt. Trong trường hợp này biệt thức quyết định số lượng và bản chất của nghiệm. Có ba trường hợp:

• Nếu Δ (hoặc Δ') dương (Δ > 0 hay Δ'>0), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

− b + Δ 2 a và − b − Δ 2 a (hoặc − b ′ + Δ ′ a và − b ′ − Δ ′ a ) {\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{và}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{(hoặc}}\quad {\frac {-b'+{\sqrt {\Delta '}}}{a}}\quad {\text{và}}\quad {\frac {-b'-{\sqrt {\Delta '}}}{a}}{)}} cả hai đều là nghiệm thực. Đối với những phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ, nếu Δ, Δ' là một số chính phương thì nghiệm là hữu tỉ; còn với những trường hợp khác chúng có thể là các số vô tỉ.

• Nếu Δ = 0 (hoặc Δ' = 0), phương trình có một nghiệm thực:

− b 2 a {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}} (hoặc − b ′ a {\displaystyle -{\frac {b'}{a}}} )hay đôi khi còn gọi là nghiệm kép.

• Nếu Δ (hoặc Δ') âm (Δ < 0 hoặc Δ' < 0), phương trình không có nghiệm thực, thay vào đó là hai nghiệm phức phân biệt[10]

− b 2 a + i − Δ 2 a và − b 2 a − i − Δ 2 a {\displaystyle {\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{và}}\quad {\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}} (hoặc − b ′ a + i − Δ ′ a và − b ′ a − i − Δ ′ a {\displaystyle {\frac {-b'}{a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta '}}{a}}\quad {\text{và}}\quad {\frac {-b'}{a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta '}}{a}}} )là những số phức liên hợp, còn i là đơn vị ảo.

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ khác 0, có nghiệm thực khi và chỉ khi Δ không âm (Δ ≥ 0).

Diễn giải bằng hình học

Hàm số f(x) = ax2 + bx + c là hàm số bậc hai.[11] Đồ thị của bất kỳ hàm bậc hai nào cũng đều có một dạng chung được gọi là parabol. Vị trí, hình dạng, kích cỡ của parabol phụ thuộc vào giá trị của a, b, và c. Nếu a > 0, prabol có một điểm cực tiểu và bề lõm hướng lên trên; nếu a < 0, parabol có một điểm cực đại và bề lõm hướng xuống dưới (xem hình 1, a). Cực điểm của parabol ứng với đỉnh của nó; điểm này có hoành độ x = − b 2 a {\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}} , tính x rồi thế vào hàm số ta sẽ tìm được giá trị tung độ. Đồ thị giao trục tung tại điểm có tọa độ (0, c).

Các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 tương ứng là các nghiệm của hàm số f(x) = ax2 + bx + c bởi chúng là những giá trị của x để cho f(x) = 0. Nếu a, b, và c là những số thực và miền xác định của hàm f là tập hợp số thực thì nghiệm của f là hoành độ của giao/tiếp điểm của đồ thị với trục hoành (xem hình 3).

Nhân tử hóa đa thức bậc hai

Biểu thức

x − r {\displaystyle x-r}

là nhân tử của đa thức

a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}

khi và chỉ khi r là một nghiệm của phương trình bậc hai

a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}

Từ công thức nghiệm ta có

a x 2 + b x + c = a ( x − − b + b 2 − 4 a c 2 a ) ( x − − b − b 2 − 4 a c 2 a ) . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).}

Trong trường hợp đặc biệt b2 = 4ac (hay Δ = 0) phương trình chỉ có một nghiệm phân biệt, có thể nhân tử hóa đa thức bậc hai thành

a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}